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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | | Man finde parakompakte Räume $X,Y,$, für die das topologische Produkt [mm] $X\times [/mm] Y$ kein parakompakter Raum ist. |
Hallo!
Auf die Frage bin ich selbst gestoßen, nachdem ich bewiesen hatte, dass das Produkt eines parakompakten Raumes mit einem kompakten Raum wieder parakompakt ist. Anscheinend ist dies für für parakompakte Räume i.A. nicht der Fall. Hierfür suche ich ein Beispiel.
Wenn ich mich nicht arg vertue, dann ist z.B. [mm] $\IR$ [/mm] versehen mit der natürlichen Topologie ein parakompakter Raum. Ist [mm] $\IR^2$ [/mm] immernoch parakompakt?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Die Aussage ist sicherlich richtig (ich kenne entsprechende Übungsaufgaben), dein Gegenbeispiel sicherlich falsch, wenn du [mm] $\IR$ [/mm] mit der euklidischen Topologie versiehst. Denn mit dieser Produkttopologie ist der [mm] $\IR^2$ [/mm] metrisierbar (klar, ist ja wieder die euklidische Topologie) und metrisierbare Räume sind immer parakompakt.
Du musst also schon nicht-metrisierbare topologische Räume nehmen...
Leider weiß ich im Moment kein Gegenbeispiel; ich kann zu Hause aber danach suchen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
> Denn mit dieser Produkttopologie ist der $ [mm] \IR^2 [/mm] $ metrisierbar (klar, ist ja wieder die euklidische Topologie) und metrisierbare Räume sind immer parakompakt.
Autsch  Dabei habe ich mich doch erst gestern mit dem Satz von Stone befasst. Naja, jetzt weiß ich's und werde wohl immer erst einmal überlegen, ob der entsprechende Raum nicht metrisierbar ist.
> Leider weiß ich im Moment kein Gegenbeispiel; ich kann zu Hause aber danach suchen.
Danke!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Hier ein Tipp für ein Gegenbeispiel:
Betrachte $X [mm] \times [/mm] X$ für $X=(-1,1]$ mit der Sorgenfrey-Topologie (dort bilden die halboffenen Teilintervalle $(a,b]$ eine Basis der Topologie).
Zeige, dass jede offene Überdeckung von $X$ eine Verfeinerung besitzt, die aus abzählbar vielen disjunkten offenen Mengen besteht (baue die Verfeinerung von links nach rechts auf). Mache dir dann plausibel, dass $X [mm] \times [/mm] X$ nicht normal und insbesondere nicht parakompakt ist.
(Damit hat man nebenbei ((!), eben wegen Stone) gezeigt, dass $X$ nicht metrisierbar ist (und das, obwohl $X$ das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt). Ganz witzig!  )
Liebe Grüße
Stefan
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